Большинство процессов в жизни описываются сложной нелинейной структурой и зависимостями. Еще вначале 20 века математики доказали, что многие процессы можно описать дифференциальными уравнениями — это такие уравнения, которые содержат и функцию, и ее производную.

Производная функции — это штука, на которой вообще все почти в жизни основано, например, скорость, которая показывается на спидометре в машине — это производная. Ведь что такое 100 км/ч на спидометре — это значит, что при такой скорости можно проехать 100 км за 1 час. Но через минуту вы нажали педаль газа и вот уже 120 км/ч… Так что такое скорость? То, что показывает спидометр — это мгновенная скорость, которая определяется так: предположим есть малое изменение времени, рассчитаем расстояние, которое было пройдено за это малое количество времени и таким образом определим скорость, а потом предполагается устремить это малое количество времени к нулю. Собственно, это и есть определение производной: на сколько изменится разница функции при небольшом изменении аргумента если это изменение мы устремим к нулю (скорость изменения функции)


Например, такими уравнениями можно оценить распространение КОВИДа или других инфекций. И множество других процессов в химии, физике, биологии… В фундаментальных науках это доказанные зависимости.

Но была и «обратная» идея: использовать случайные процессы для решения дифференциальных задач. Когда уравнения, описывающие требуемые структуры уж совсем сложные.

Тем более, что теоретический математический аппарат уже подготовлен в виде теоремы Муавара-Лапласа и, в общем виде, центральной предельной теоремы.

Суть в следующем. Допустим, что нам требуется вычислить какую-то неизвестную величину m. Попытаемся придумать такую случайную величину X, чтобы среднее значение X среди всех опытов N равнялось m. Известен при этом разброс X относительно среднего (дисперсия).

По центральной предельной теореме среднее значение X будет стремится к искомому m с достаточным уровнем вероятности при ошибке, которая определяется отношением, где в знаменателе стоит корень из N. Т.е. ошибка стремится к нулю при росте числа испытаний.

Экономисты в целом – это паразиты на математиках. Т.е. они берут красивый математический аппарат и применяют его криво и косо к экономическим процессам, которые еще и неверно ими истолковываются.

Так и один польско-американский ученый Станислав Улам раскладывал однажды пасьянс и подумал, а какова вероятность, что пасьянс сложится? И, наверное, забыв комбинаторику, решил провести опыт много раз и, подсчитав число удачных исходов, оценил вероятность.

Потом, с другим математиком Метрополисом, наверное, прониклись теоремой ЦПТ и в 1949 году опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой, по сути, ничего нового не содержалось, а сам метод получил бы развитие итак, потому что настала эра роста компьютерных мощностей и вычислений. Название статьи и метода они придумали на основе коммуны в княжестве Монако, главной на тот момент цитаделью казино и рулетки, в частности (рулетка как символ генератора случайных чисел).

Собственно, ничего нового в методе не было, математический аппарат был уже разработан и он имел два важных базиса:

1. Функции, которые описывают процесс, должны быть корректными и точно описывать процесс.

2. Генератор случайных чисел должен быть точным.

Да, описать формулой процессы сложно, но и случайные числа сгенерировать также не простая задача. Например, в одной из первых миссий американских спутников Пионер случилась ошибка в наведении, которая не позволила спутнику достигнуть цели, а заключалась она в том, что разработанный программный датчик «квазислучайных» чисел более 60% чисел выдавал из нижней половины заданного отрезка.

Причем тут паразитирующие экономисты? Экономисты, особенно американцы, любят использовать красивый математический аппарат бездумно в своих маркетинговых целях. Так и, так называемый «метод Монте-Карло» стали использовать при моделировании в экономике. В частности, например, при разработке инвестиционных проектов считают денежные потоки по проекту, показатели NPV и IRR. Далее моделируют как те или иные вводные параметры будут влиять на них. Например, минимальное и максимальное изменение цены продажи, изменение функции себестоимости. В итоге модель покажет, как может измениться NPV и IRR проекта при отклонении тех или иных параметров и какова вероятность получить, например, отрицательные величины NPV.

Однако, важно точно знать, что вводные параметры были корректными, т.е. цены на продукт будут лежать реально в указанном диапазоне, а себестоимость зависит только от указанных факторов и именно в такой форме. Иначе все это моделирование не стоит ничего.

Достаточно посмотреть, какие аналитики рисовали DCF модели прогнозирую цены на акции компаний 2—4 года назад и сравнить с реальностью: 90% и больше всех прогнозов не сбылись.

На основании такого метода можно делать красивые презентации и отчеты акционерам и инвесторам, но модели будут совершенно не адекватны, если вводные параметры не корректны.

Например, если попытаться найти интеграл от нуля до п/2 функции cos(x) он, очевидно, будет равен 1.

Если для оценки указанным методом мы возьмем равномерно распределенную случайную величину 2/п и проведем 10 испытаний, то получим значение интеграла равное 1.217 (т.е. погрешность 21% при точности 0.46)

А если возьмем случайную величину с линейной плотностью, например, 4/п*(1-2x/п), то проведя 10 испытаний получим значение 0.976, т.е. погрешность всего 2,35% при точности 0.12. Что явно показывает значимость вводных параметров.

Использование указанного математического аппарата в физике, химии, биологии более оправдано, потому что физические законы фундаментальны и доказаны, в отличие от экономических псевдозаконов моделей функций работы предприятий с одной или двумя переменными, линейными законами спроса и предложения...

Также по теме