Многие инвесторы недоумевают, почему котировки компании Кисточки Финанс, которая проводила ОСВО по отмене оферты из-за возможного дефолта или облигаций Каскад, один из выпусков коммерческих облигаций которой находился в техническом дефолте, торгуются по 90+% от номинала, а выпуск Дэни Колл, который платит купон, погашает досрочно обязательства по добровольным офертам — по 60% от номинала. В чем причина? Попробуем показать чисто математически.
Внимание! Далее по тексту будет много формул, если вы гуманитарий и хотите сберечь свой мозг — формулы можно проматывать, в конце будут даны простые общие выводы.
Мы хотим понять, когда инвесторы решают продавать облигации, при каких обстоятельствах. Введем несколько вводных. Инвесторов в каждом выпуске — ограниченное число. По компаниям выходят какие-то новости, проходят слухи, выходит отчетность и каждый инвестор решает, стоит ли продавать облигации или нет.
Облигации упадут в цене только в том случае, если решение продать приняло не менее p% (предполагается что каждый инвестор оценивается по количеству принадлежавших ему облигаций) от всех инвесторов. Если инвесторы решают продавать облигации, они теряют −i, где i ∈ (0, 1), потенциальный будущий доход. Если облигации упали в цене, то инвесторы, которые продавали, получают 1 – i, если облигации не упали в цене, то −i.Инвесторы, которые не продавали, получают 0 вне зависимости от того упала облигация или нет.
Такая формулировка подхода требует осмысления, но она корректная и очевидная, в случае, если предполагается, что эмитенты не предполагают преднамеренного банкротства.
Инвесторы не знают величину p%, но им известно, что p% имеет нормальное распределение с математическим ожиданием z и стандартным отклонением c (* - почему нормальное распределение и что такое дисперсия и мат ожидание расскажу для незнающих в конце статьи, эти знания нужны точно не только математикам, но и гуманитариям-управленцам).
Будем предполагать, что у каждого инвестора имеется свое представление о том, какое количество инвесторов необходимо для того, чтобы облигация упала в цене.
Пусть каждый инвестор j получает сигнал xj, который является случайной величиной, распределенной согласно нормальному распределению с математическим ожиданием p% и стандартным отклонением c`.
Таким образом, параметрами в данной модели являются величины i (потери от продажи облигаций), с (насколько велика неопределенность относительно падения цены облигаций), c` (насколько точны сигналы относительно устойчивости цены) и z (математическое ожидание устойчивости цен на облигацию).
Требуется найти равновесие в этой игре, т.е. оценить параметры, при которых облигации будут продавать.
Найдем симметричное равновесие Байеса–Нэша. Предположим, что инвесторы используют пороговые стратегии.
Каждый инвестор j принимает решение продать облигацию только в том случае, если xj ≤ X (меньше определенной силы сигнала).
Инвестор с xj = X будет безразличен в выборе между продать облигации или держать. При данном значении p% доля инвесторов, продающих облигации, будет равна доле инвесторов, получивших сигнал xj ≤ X:
P(xj ≤ X | p%) = Ф((X-p%)/c`) (1)
Где Ф — функция распределения стандартной нормальной случайной величины.
В каком случае облигации упадут в цене?
Это произойдет при таких реализациях случайной величины p%, когда число инвесторов будет не меньше, чем само значение p%:
p% ≤ Ф((X-p%)/c`) (2)
Неравенство (2) можно переписать как p% ≤ P, где P является решением уравнения
P = Ф((X - P) / c`) (3)
Это верно в силу того, что правая часть неравенства (2) убывает с ростом p%.
Пусть инвестор j получил сигнал xj. Как этот инвестор оценивает вероятность, с которой облигации упадут в цене, т.е. условную (при данном xj) вероятность того, что p%≤ P?
Нам известно, что p% имеет нормальное распределение с математическим ожиданием z и стандартным отклонением с, в то время как xj имеет нормальное распределение с математическим ожиданием p% и стандартным отклонением с`.
Условное распределение p% также будет нормальным с математическим ожиданием
И стандартным отклонением
Следовательно, мы будем иметь
(4)
Найдем теперь, чему должен быть равен X. В каком случае инвестор j, получивший сигнал xj, начнет продавать облигации?
Очевидно, только тогда, когда его собственная оценка вероятности P(p% ≤ P | xj) падения цены не превышает убытков от падения i.
Так как P(p% ≤ P | xj) убывает с ростом xj, мы можем сделать вывод, что в продажах облигации примут участие все инвесторы, которые получили сигналы xj ≤ X, где X является решением уравнения
(5)
Для того, чтобы вывести уравнение (3), мы предположили, что продавать облигации будут только инвесторы с xj ≤ X для некоторого X.
Из уравнения (5) мы видим, что это предположение является верным, по крайней мере в том случае, если мы предположим, что падение состоится при p% ≤ P для некоторого P.
Следовательно, равновесии P и X будут решением системы уравнений (3) и (5).
Выводы для гуманитариев
При достаточно малой точности сигналов относительно устойчивости цены (c`) инвестор будет иметь значение P близкое к 1-i.
Для всех инвесторов, принявших решение продать облигации p% < 1-i число продавцов будет невелико (и стремится к нулю при c` стремящейся к нулю). При p% > 1-i продавать будут больше инвесторов (вплоть до 1 при c` стремящейся к нулю)
Так что если качество сигналов, получаемых инвесторами, достаточно высоко (т.е. разброс случайной величины c` мал), то малые изменения в количестве продавцов p% могут вызвать резкие колебания в цене.
Аналогично можно рассмотреть ситуацию относительно восстановления цен.
Посмотрим на эту ситуацию со стороны того, почему компании, с казалось бы высоким шансом на дефолт, торгуются по высоким котировкам, а у компании, у которой нет явных предпосылок для дефолта торгуется как компании, уже допустившие дефолт и не платящие инвесторам.
Из полученных нами формул и реальной ситуацией по определенным выпускам следуют такие выводы:
1. Инвесторы считают, что сигнал о возможном дефолте Кисточки Финанс был недостаточно сильным.
2. При техническом дефолте по выпуску коммерческих облигаций Каскад сигнал оказался сильным, однако затем инвесторы получили другой сигнал относительно надежности эмитента и котировки восстановились.
3. В облигациях Дэни Колл ситуация также подтверждается моделью: при объявлении о выкупе по 109% от номинала, это оказалось сильным сигналом и инвесторы стали приобретать облигации, однако сигнал о том, что выкуп (специально или нет) у многих инвесторов задерживается или не осуществляется по различным техническим причинам, и фактический объем выкупа не такой уж и большой (и, вероятно, у компании не достаточно капитала для полного выкупа) также оказался существенным и котировки вновь упали к 60% от номинала.
Почему в принципе цена упала к 60%? Это означает, что большое количество инвесторов p% (по объему) получила откуда-то точные негативные сигналы.
Казалось бы: ну да, очевидный вывод, зачем городить формулы? Однако, желающие математики (и не только!) могут потренироваться на досуге, придумать и порисовать примеры с конкретными параметрами.
О нормально распределении, мат ожидании и дисперсии
Нормальное распределение пришло к нам из жизни: многие наблюдения показали, что часто казалось бы случайные величины (наблюдения за разными объектами) распределяются таким образом:
В дальнейшем математики описали функции такого распределения, его характеристики.
Большие массивы наблюдения очень хорошо показывают, что большинство процессов в нашей жизни имеют нормальное распределение, например, голосование на выборах, если они честные.
Математическое ожидание — это, упрощенно, просто одно из определений среднего значения.
Дисперсия или среднеквадратическое отклонение — крайне важный параметр для оценки различных выборок, в том числе эффективности процессов, означающий отклонение от среднего уровня.
Например, на рынке есть две компании с одинаковой выручкой 1 млрд рублей, и даже одинаковым средне годовым уровнем продаж
Если у второй компании продажи достаточно стабильны от месяца к месяцу с небольшой сезонностью, то первая компания имеет просто хаотический разброс от месяца к месяцу, не регулярные, эпизодические продажи, хотя в целом по году компании кажутся одинаковыми, но риск в первой — существенно больше.
Именно поэтому, этот показатель важен не только математикам, но и практикам в реальной жизни и управлении компаниями, анализе рисков.
