Предположим, есть человек, который с одинаково часто делает хорошие и плохие поступки. Если он делает плохой поступок, то приближает себя к гибели, если хороший – то отодвигает свою гибель на 1 шаг.

И вот он стоит уже у пропасти.

Один плохой поступок – и он погиб. Один хороший– и он себя спас, временно. Два плохих поступка – и снова погиб.

Так какая вероятность, что, совершая одинаково часто (с вероятностью 50%) хорошие и плохие поступки этот человек спасется?

Пусть вероятность p0. Если он совершил хороший поступок и отошел от гибели на шаг, то вероятность совершить плохие поступки и погибнуть – p1. Если совершил три подряд хороших поступка, то вероятность погибнуть, совершив плохие поступки – p3. И т.д…


Можно представить, что вероятность p1 - это на самом деле вероятность p0, предположив, что человек уже стоит на грани гибели, и тогда пересечение этих вероятностей будет их произведением p0*p0, т.е. p1 = p0^2. И т.д. p2 = p0^3 ….


Но, что такое p0?


С вероятностью 1/2 человек совершит плохой поступок и погибнет и с вероятностью 1/2 он совершит хороший поступок, но тоже погибнет уже с вероятностью p1.
p0 = 1/2 + 1/2*p1
но p1=p0^2


Получаем квадратное уравнение p0^2-2p0+1=0 или (p0-1)^2=0, т.е. вероятность 100% что человек погибнет, если будет совершать одинаковое количество хороших и плохих поступков.


Нетрудно подсчитать, что даже, если плохих поступков будет всего 1/3, вероятность погибнуть будет либо 100% либо 50%, т.е. человек должен совершать как можно больше хороших поступков и существенно уменьшать количество плохих.

PS На заставке к видео математик Каталан, на идеях которого и была составлена задача.