В продолжение прошлой темы про политику. Есть такая известная теорема Эрроу, которую многие интерпретируют как теорему о диктаторе. Доказательство теоремы можно прочитать в википедии, оно требует определенной математической подготовки (да и суть там описана, на мой взгляд менее очевидно, чем я рассказал), но результат на самом деле поражает.
Итак, у нас есть n избирателей и k кандидатов. Каждый избиратель может проранжировать всех кандидатов от менее привлекательного до самого привлекательного.
Что такое эффективность по Парето? В целом это значит, что любой показатель в системе не может быть улучшен без ухудшения других. Применительно к рассматриваемой теореме это означает, что если какой-то кандидат Y1 у каждого избирателя оценивается лучше, чем кандидат Y2, то значит и в итоговом спискеY1 будет лучше Y2. Необязательно, чтобы кандидат Y1 был везде на первом месте, он может быть у одних на первом, у других на втором, но важно, чтобы он у всех был выше Y2.
Это очевидное условие.
Второе условие про независимость от посторонних альтернатив менее очевидное, но что оно значит? Это требование предполагает, что общественный выбор между двумя любыми кандидатами должен зависеть только от упорядочений избирателями этих двух кандидатов, а не от упорядочений ими других кандидатов. Иными словами если у X1 кандидат Y1 менее значим, чем Y2, а у X2 кандидат Y2 менее значим, чем Y1, то при удалении кандидата Y3 эти ранжирования не изменятся, т.е. у X1 кандидат Y1 останется менее значим, чем Y2, а у X2 кандидат Y2 останется менее значим, чем Y1.
Тоже в принципе нормальное условие.
Транзитивность (монотонность) означает, что избиратели, условно говоря, не противоречат сами себе, т.е. если для X1 кандидат Y1 лучше, чем Y2, а Y2 лучше, чем Y3, то для X1 кандидат Y1 лучше, чем Y3.
Как бы тоже очевидное условие.
Ну там еще есть одно условие, что нет диктатора, т.е. избирателя X которого слушаются все. Оно тоже очевидно.
Можете сами проверить на 4 избирателях и 4 кандидатах: в этом случае всего возможно 4 в 4 степени вариантов различных ранжирований а это, не секундочку, 256 вариантов! Так вот, решением кого выбрать будет ответ первого избирателя. Или второго. Или третьего. Или четвертого!
При двух очевидных вводных параметра оказывается невозможным демократический выбор!
В последствии условия попытались еще немного ослабить, например, транзитивность заменяли на квазитранзитивность. И тогда получали то, что называется олигополией (на коммерческих рынках) или олигархией в политике, это показал Гиббард в 1969 году.
27 сентября 2020 г.
